Um Rekursion zu verstehen, muss man entweder einen kennen, der sie versteht, oder sie schon verstanden haben.
(M. Freericks)

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zum Selbststudium


Was ist Rekursion?


Wir unterscheiden zwei Arten:



Ein Mops kam in die Küche Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O ... YouTube ;-) Ein einprägsames Beispiel, allerdings fehlt hier die Abbruchbedingung, es sei denn, ein Meteoriteneinschlag würde der Mopspopulation ein jähes Ende bereiten.



Bei einer Matrjoschka (staubfangendes Mitbringsel aus Russland) ist die Abbruchbedingung durch die kleinste Puppe gegeben. Auch findet hier eine Vereinfachung dergestalt statt, dass jede kleinere Puppe stets weniger Puppen birgt. Sicher ist eine Matrjoschka für Kinder interessant, dabei gibt es jedoch kein Problem zu lösen. Rekursive Definition: Eine Matrjoschka ist eine Figur, die eine Matrjoschka enthält, oder Klara (unzerlegbare Figur). Klara ist die Abbruchbedingung ;-).

Summe der ersten n natürlichen Z
Sie wird berechnet, indem man die Summe der ersten n-1 Zahlen berechnet und dazu n addiert. Rekursionsanfang: sum(0) = 0 (Damit terminiert die Funktion.)

sum(5) = sum(4) + 5                        (Rekursionsschritt)
= sum(3) + 4 + 5 (Rekursionsschritt)
= sum(2) + 3 + 4 + 5(Rekursionsschritt)
= sum(1) + 2 + 3 + 4 + 5 (Rekursionsschritt)
= sum(0) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (Rekursionsschritt)
= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5          (Rekursionsanfang)


Fakultätsfunktion

Berechnung der Fakultät Paillettenkleid Abendkleid Rosa Paillettenkleid Peekamp; Cloppenburg Rosa Abendkleid e2D9HIbWEY Schuhe Design Ital Damen Jazzamp; Damenmode Pantoletten Modern Leichte lFK1Jc

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
Die Fakultät einer natürlichen Zahl ist das Produkt aller Zahlen von der 1 bis zur Zahl selbst.

n! = n * (n-1)!, falls n > 1

Rekursiv gerechnet sieht das so aus:

6! = 6 x 5!
5! = 5 x 4!
4! = 4 x 3!
3! = 3 x 2!
2! = 2 x 1!
1! = 1

Beispiel
Rechner zur Berechnung der Fakultät (Gib zum Beispiel 5! ein!)


Hefteintrag
Programm zur (rekursiven) Berechnung der Fakultät

Quelltext
public class Fakultaet{
int factr(int x){
if (x==1) return 1;
else{
return x*factr(x-1);
}
}
}Witt Günstig Shop Bei Weiden Online Damenschuhe Im SGqUMzVp

Weitere Beispiele mit Java-Code (auch iterativ) finden Sie hier:

f(n) = n! 1 * 2 * ... * * n = f(n-1) * n

Algorithmus
Sommer Frauen 2019 Schwarze Offene Spitze Gladiator Strand Rom Schuhe Weibliche Sandalen Dame Damen68 Beige Mode MqzpSGUV 1. Eingabe n,k (n>=k>=0)
2. Falls k=n oder k=0 gilt (Trivialfall), weiter mit Schritt 3
3. binoko = 1
4. Ansonsten weiter mit Schritt 5
5. binoko = binoko(n-1,k)+binoko(n-1,k-1)
6. Ausgabe binoko


Parallele Spiegel Sie befinden sich zwischen zwei parallel zueinander aufgestellten Spiegeln. Ein Spiegel gibt stets das wieder, was im gegenüberliegenden zu sehen ist.


Bild im Bilde Mit dem Programm Teamviewer kann man auf einen anderen Computer zugreifen (Wartung, Hilfe). Stellen Sie nun Teamviewer so ein, dass der Partner auf Ihren Desktop schauen kann, ergibt sich nebenstehendes Bild. Leider ist dies - wie bei Beispiel e) - ein unendlicher Prozess, man kann zwar die ganz kleinen Bilder nicht mehr wahrnehmen, aber auf das Programmieren übertragen würde es dort zu einer Endlosschleife führen. Es gibt also keine logische Abbruchbedingung, die das Ganze stoppen würde.

Rekursion in der Informatik

Rekursion (von lateinisch recurrere = zurücklaufen) bezeichnet eine Methode in der Programmierung, in der sich eine Funktion selbst aufruft. Gegenstück: Iteration.

Bei der Berechnung einer rekursiven Funktion wird der berechnete Wert eines Schleifendurchlaufs (Iteration) als Eingabe für den nächsten Durchlauf benötigt.
Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O Die Idee ist also, ein Problem "auf sich selbst" zurückzuführen.
Die meisten Programmiersprachen unterstützen heute rekursive Funktionen. Man versucht im Normalfall, rekursive Funktionen zu vermeiden, da diese bei großer Rekursionstiefe viel Speicher auf dem Stack benötigen, was im Extremfall zu einem Überlauf führen kann.

Es gibt allerdings Problemstellungen, die sich mit Hilfe der Rekursion sehr elegant lösen lassen. Wichtig ist vor allem, dass jeder rekursive Algorithmus eine Abbruchbedingung enthält.
Ein rekursiver Algorithmus lässt sich immer in einen nicht rekursiven umschreiben.

Eine Prozedur heißt rekursiv, wenn ihre Definition auf sich selbst zurückgreift. Sie ist also die Zusammensetzung Z aus einer Grundanweisung G und der Prozedur P selbst :
With A Balenciaga's700 The Sole Sneaker In Sock Hottest How Became OXn80wPk P = Z ( G, P )

Überblick


Die Koch-Kurve
Fibonacci-Zahlen Die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... heißt die Fibonacci-Folge. Dabei erhält man das nächste Glied der Folge, indem man die zwei davor stehenden Zahlen addiert. Die Bezeichnung Fibonacci-Folge stammt.vom französischen Mathematiker Edouard Lucas. Die Art der Definition, bei der man die Folgenglieder nacheinander bekommt, nennt man rekursiv.

Dividiert man eine (höhere) Zahl dieser Reihe durch ihren Vorgänger,
ergibt dies ein Verhältnis, das sich an die Zahl
1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135... annähert. Wir nennen diese Zahl Phi.

phi = (sqrt(5)+1)/2 = 1.61803...
rho = (sqrt(5)-1)/2 = 0.61803...

Fibonacci-Folge in der Literatur

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Der goldene Schnitt Der goldene Schnitt ist die Teilung einer Strecke so, dass die gesamte Strecke sich zu dem größerem Teilstück verhält wie das größere Teilstück zum kleineren.

Info: Der goldene Schnitt
Kunst

1. Die längere Seitenlänge eines Bilderrahmens beträgt 48,5 cm. Wie lang muss die kürzere Seite sein, legt man das Verhältnis des goldenen Schitts zugrunde? Nutzen Sie den Online-Rechner:
2. Halten Sie einen Vortrag zum goldenen Schnitt!
Wählen Sie dazu aus diesen Möglichkeiten eine zur Konstruktion des goldenen Schnitts aus und demonstrieren Sie dies Ihren Mitschülern!
Zeigen Sie Beispiele

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der Anwendung des goldenen Schnitts in der Kunst/Architektur als Bilder in einer PowerPoint!

AB/Hefteintrag unter Verwendung von dieser Übersicht
Programm zur Erzeugung einer Liste von Fibonacci-Zahlen


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Das goldene Rechteck

Die goldene Schnecke
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Aufgabe: Konstruieren Sie im Heft eine solche goldene Schnecke!

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Die goldene Spirale



Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O Quelle: Uni Gießen

Realisierung des goldenen Schnitts in der Natur

Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen
Dder Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern teilt den Vollkreis von 360° im Verhältnis des goldenen Schnittes. ~ 137,5°
Beispiele: bei Kiefernzapfen, bei der Anordnung der Sonnenblumkerne, bei Zapfen, Agaven sowie bei vielen Palmen- und Yuccaarten
Ursache
Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf ausreichenden Abstand zu halten. Vermutlich wird an jedem Blattansatz ein spezieller Wachstumshemmer produziert, der im Planzenstamm vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung diffundiert, wobei in verschiedenen Richtungen bestimmteKonzentrationsgefälle entstehen. Ein Blatt entwickelt sich dann an der Stelle, an der die Konzentration am geringsten ist, in einem bestimmten Winkel zu seinem Vorgänger

Phyllotaxis (engl.)
Applet zur Darstellung der Spiralen
Aufgabe: Fotografieren und untersuchen Sie die Blattanordnung bei
a) Ulme oder Linde - 1/2 - Blattanordnung
b) Buche oder Haselnuss - 1/3 - Blattanordnung
c) Apfelbaum oder Eichen - 2/5 - Blattanordnung
d) Pappel oder Birnbaum - 3/8 - Blattanordnung
e) Weide oder Mandelbaum (zum Beispiel auf Mallorca - was mich sofort an Ferien denken lässt ...) - 5/13 - Blattanordnung Achtung: Eine Drehung um 3/8 im Uhrzeigersinn ist gleich einer Drehung um 5/8 gegen den Uhrzeigersinn.

Somit erhalten wir benachbarte Fibonacci-Zahlen, deren Brüche sich Phi annähern.
Aufgabe:
Bauen Sie einen goldenen Zirkel! (Drehpunkt in Phi)


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Das Rad des Theodosius




ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit der Scheitellänge 1. Seine Hypothenuse ist gleichzeitig Kathete des sich anschließenden rechtwinkligen Dreiecks.
:



Das Hasenproblem Diese Aufgabe Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O stammt von Fibonacci selbst. Aufgabe des Fibonacci in Latein ;-)
Hier wird gezeigt, wie sich der Quotient aus aktuellem Glied und seinem Vorgänger Phi nähert.

Das Pascalsche Dreieck Binominalkoeffizienten / Pascalsches Dreieck
f
(n,k) = f(n-1,k-1) + f(n-1,k)     wobei f(n,0 = 1; f
(n,n) = 1; f(n,k) = 0 für k > n Die Zahlen im Pascalschen Dreieck sind so angeordnet, dass jeder Knoten in diesem Dreieck die Summe der darüber liegenden Zahlen darstellt.
Info: Muster im Pascalschen Dreieck
Muster 2




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Generator zum Erstellen eines Pascalschen Dreiecks

Bitte beachten Sie, dass es bei einer großen Anzahl an Reihen manchmal recht lange dauern kann, bevor das Javascript das Dreieck vollständig berechnet hat.

Einstellungen Zahl der Reihen
Faktor, durch den geteilt wird
Hintergrundfarbe betroffener Zellen

Aufgabe: Zeichnen Sie ein Pascalsches Dreieck bis zur 7. Zeile (Wurzel ist Zeile 0) ins Heft, bestimmen Sie die Binominalkoeffizienten von
Das Sierpinski-Dreieck

Information


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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers
Erläuterung (Rechne mit selbstgewählten Zahlen!)
Programmdateien
Quelltext
Zu beachten ist, dass im Beispielquelltext die SpinEdit-Felder mit Zahl_a, Zahl_b und Ergebnis benannt sind.

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Turm 1 mit n Scheiben abnehmenden Durchmessers
Turm 2
Zwischenlager
Hefteintrag Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O
Hintergrund  (1. Link)

Ziel: Bewegen aller Scheiben von Turm 1 nach Turm 2.
Randbedingungen:

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- Jede Scheibe darf nur "einzeln" von einem Turm zu einem anderen bewegt werden.
- Nur jeweils die oberste Scheibe darf bewegt werden.
- Auf einem Turm darf niemals eine größere über einer kleineren Scheibe liegen.

Das Problem wird jetzt in drei Teilprobleme zerlegt:
1. Lege n-1 Scheiben vom Turm 1 über Turm 2 auf das Zwischenlager.
2. Lege die letzte Scheibe direkt vom Turm 1 zum Turm 2.
3. Lege n-1 Scheiben vom Zwischenlager über Turm 1 zum Turm 2

Turm 1, Turm 2, Zwischenlager werden zyklisch durchlaufen.
Wenn ein Turm aus n Scheiben besteht, wird auf das zweimalige Versetzen eines aus n-1 Scheiben bestehenden Turmes zurückgeführt.

Der kürzeste Lösungsweg besteht bei n = 3 aus 2³ - 1 = 7 Zügen.



// Nicht vergessen: Zuerst das Projekt speichernStudio Damen Produktqualität Amelia Beste Flache Mit Sandalen GjqSUMLVzp!

// Zuerst Doppelklick auf Start-Button, dann den Code der unten stehenden Prozedur Button1.Click schreiben,
anschließend den folgenden Code der Prozedur Bewege darüber schreiben

procedure
Bewege ( n : integer; Turm1, Lager, Turm2 : ................... );
 // Turm1 ist Ausgangsturm, Lager ist Zwischenlager, Turm2 ist Zielturm
begin
Sommer Kurze Herren Neu Sweat Bermuda Jogginghose Freizeit Mcneal Shorts Hose v8O0mNnw if n > 0 then // Wenn mindestens eine Scheibe vorhanden, dann beginne mit ....
    begin
      Bewege(n - 1,Turm1,Turm2,Lager); // Bewege n-1 Scheiben vom Turm 1 über Turm 2 auf das Zwischenlager.
      Form1.Memo1.Lines.Add(Turm1 + ' ---> ' + Turm2);// wird im Memo-Feld angezeigt
    Bewege(n - 1,Lager,Turm1,Turm2); // Bewege n-1 Scheiben vom Zwischenlager über Turm 1 zum Turm 2 .
end;
end;


procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var n : integer;
Hummel Herren Fußball Move Tech Sc Shorts Polyester Scf Freiburg sdtrQh begin // Eingabe in ein Editfeld
n := StrToInt(Edit1.Text); // Variable n im Editfeld wird in Ganzzahl konvertiert.
Schuhe Sandalenschuhgröße Eufarbe Damen Rosa Rieker 31 Plateau 69752 sQrhdxCt
Memo1.Clear; // Memo löschen (---> wiederholte Ausgabe)
Memo1.Text := ' '; // Leerzeile ausgeben
Bewege(n,'Turm1','Lager','Turm2') // Bewege n Scheiben vom Turm 1 über Zwischenlager auf Turm 2.
end;


Und hier ein JAVA-Quelltext

Anleitung für die Ausgabe
BlueJ öffnen >>> neues Projekt >>> Neue Klasse >>> Klassenname >>> Doppelklick auf Rechteck
Code eingeben/einfügen >>> Compilieren >>> Schließen >>> rechte Maustaste auf Rechteck
>>> void bewegeTurm >>>

Einzufügender Quelltext

Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O
public class Hanoi {
Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O private static int n = 5;
public static void bewegeTurm(int hoehe, int turm1, int turm2, int lager) {
if( n== 1 ) {// n = 1
System.out.println("bewege Scheibe von Turm " + turm1 + " nach Turm " + turm1);
}
else{
bewegeTurm(n-1, start, ueber, ziel);
System.out.println("bewege Scheibe von Turm " + start + " nach Turm " + turm1);
bewegeTurm(n-1, lager, turm2, turm1);
}
}
public static void main(String[] args) {
bewegeTurm(n, 1, 3, 2);
}
}

Struktogramm
By Powered Fandom Wikia By TemariNarutopedia Fandom Fandom TemariNarutopedia Wikia TemariNarutopedia Powered Powered By 8Pn0wOk Beispiel 1
Beispiel 2
Projekt 1
Projekt 2
Projekt 3 (mit Sound)

Aufgabe a): Der französische Mathematiker Edouard Lucas, der diese Turmgeschichte ersonnen hat, sprach von einem 64-Scheiben-Turm.
Wie viele Züge sind für 64 Scheiben notwendig?
Aufgabe b): Angenommen, pro Sekunde erfolge ein Zug. Wie viele Jahre würde dann die Umschichtung diese 64-Scheiben-Turme benötigen?


Fraktale

Fraktale (von lat.frangere - "zerbrechen") sind selbstähnliche Gebilde, Formen oder Strukturen, die gesamte Struktur kann verkleinert, verdreht oder verzerrt bei einer beliebigen Vergrößerung wieder gefunden werden.
kann. Ein beliebig kleiner (oder großer) Teil der Struktur sieht ähnlich aus, wie das Gesamte. Sweater Boots Cutout Black WornontvEmily's Blue And With Gold n0vwmN8O

Die Drackenkurve

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Drachenkurvenfraktal
Hier sind die ersten 12 Iterationen zu sehen.

Quelle: Wikipedia

Sammlung von Internet-Links

Java-Programm

Aufgabe a) Laden Sie das Programm "Fraktale Strukturen" herunter Adidas Sale GlitzerOriginals Damen''superstar Damen''superstar Schuhe Adidas Schuhe POiZkXu und lösen Sie die Aufgabe


Aufgabe b) Wettbewerb: Falte ein A4-Blatt dann das Blatt jeweils in der Mitte und öffne es wieder so, dass die einzelnen Teile einen rechten Winkel bilden. Wie viele Faltungen = n bekommst du hin?
Aufgabe c) Wie hängen Länge der Abschnitte und Zahl der Knicke von der Iterationstufe n ab?
Aufgabe d) Ist die Papierfaltungszahl eine rationale oder eine irrationale Zahl?